Zadanie 13: graniastosłup, objętość jako funkcja wysokości

Zależność V(h) z twierdzenia Pitagorasa i optymalizacja pochodną (6 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 13

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d. a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h). b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Punkt O to środek kwadratowej podstawy; odcinek do wierzchołka górnej podstawy to przekątna prostopadłościanu.

  1. 1Odległość |OD| od środka podstawy do wierzchołka to połowa przekątnej kwadratu: a√2/n. Podaj n
  2. 2Z twierdzenia Pitagorasa d² = h² + |OD|², czyli d² = h² + a²/2, skąd a² = k·(d²−h²). Podaj współczynnik k
  3. 3Objętość V(h) = a²·h = 2(d²−h²)·h = 2d²h − k·h³. Podaj współczynnik k przy h³
  4. 4Dziedzina funkcji V(h) to (0, n) — podaj n (wyrażone przez d)
  5. 5Pochodna V′(h) = 2d² − k·h². Podaj współczynnik k
  6. 6Miejsce zerowe pochodnej spełnia 2d²=6h², czyli h²/d² =
  7. 7Stąd h = d·√(1/3) = d√3/3. Podaj mnożnik k = h/d = √3/3, zaokrąglony do trzech miejsc po przecinku
Lekcje
Następna lekcja