Zadanie 13: punkt na okręgu opisanym na cięciwie paraboli

Przecięcie prostej z parabolą, okrąg o średnicy AB i tangens sumy kątów (6 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 13

Prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x² − 7x + 1 w punktach A oraz B (A ma mniejszą odciętą). Odcinek AB jest średnicą okręgu O. Punkt C leży na okręgu O nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tg α = 1/3. Oblicz współrzędne punktu C.

Wszystkie współrzędne w tym zadaniu są liczbami wymiernymi o skończonym rozwinięciu dziesiętnym.

  1. 1Podstaw y = x − 2 do równania paraboli, rozwiąż 4x² − 8x + 3 = 0 i podaj mniejszy pierwiastek, czyli odciętą punktu A
  2. 2Odcięta punktu B
  3. 3Rzędna punktu A
  4. 4Odcięta środka S okręgu, czyli środka odcinka AB
  5. 5Rzędna środka S
  6. 6Współczynnik kierunkowy prostej AC, czyli tg(α + 45°), obliczony ze wzoru na tangens sumy dla tg α = 1/3
  7. 7Odcięta punktu C
  8. 8Rzędna punktu C
Lekcje
Następna lekcja