Zadanie 2: nierówność z sześcianem sumy
Dowód nierówności (a + 2b)³ > 8a²b + 16ab² dla dodatnich a, b takich, że b ≠ ½a (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 2
Uzupełnij dowód: dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ ½a, prawdziwa jest nierówność (a + 2b)³ > 8a²b + 16ab². Wybierz właściwe uzupełnienie każdej luki.
Kluczem jest sprowadzenie nierówności do iloczynu, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby różnej od zera, a drugi jest dodatni na mocy założeń.
Przekształcamy nierówność równoważnie. Ze wzoru na sześcian sumy mamy (a + 2b)³ = . Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę nierówność przyjmuje postać . Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki: a²(a − 2b) − 4b²(a − 2b) > 0, czyli . Drugi czynnik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów i otrzymujemy nierówność równoważną . Z założenia a > 0 oraz b > 0, więc czynnik a + 2b jest . Ponadto warunek b ≠ ½a oznacza, że a − 2b ≠ 0, a zatem (a − 2b)² jest . Iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, więc nierówność (a − 2b)²(a + 2b) > 0 jest prawdziwa dla wszystkich rozważanych a i b, a razem z nią prawdziwa jest nierówność wyjściowa. To należało wykazać.