Zadanie 12.2: najmniejsza objętość stożka

Optymalizacja z pochodną ilorazu: wysokość dająca najmniejszą objętość i wartość tej objętości (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 12.2

Objętość V stożka jako funkcja wysokości h wyraża się wzorem V(h) = (π/3)·25h³/(h² − 25) dla h ∈ (5, +∞). Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza, i oblicz tę najmniejszą objętość.

Policz pochodną ilorazu, uprość licznik do postaci 25h²(h² − c), znajdź jej miejsce zerowe w przedziale (5, +∞) i zbadaj znak pochodnej.

  1. 1Pochodna ma postać V′(h) = (π/3)·25h²(h² − c)/(h² − 25)². Podaj cLicznik przed uproszczeniem to 75h²(h² − 25) − 25h³·2h.
  2. 2Kwadrat wysokości h, dla której V′(h) = 0 w przedziale (5, +∞)
  3. 3Zbadaj znak pochodnej: wpisz −1, jeżeli V′(6) jest ujemna, albo 1, jeżeli jest dodatniaPorównaj 6² z liczbą 75.
  4. 4Dla wysokości h = 5√3 oblicz wartość wyrażenia h² − 25
  5. 5Najmniejsza objętość ma postać V = (a·√3/2)·π. Podaj aSkorzystaj z równości (5√3)³ = 375√3 oraz z poprzedniego kroku.
Lekcje
Wróć do lekcji