Zadanie 3
Uzupełnij dowód: dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba (2n + 1)² − 1 jest podzielna przez 8.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 2TrudneUzupełnij luki
1:1 z matury · Matura maj 2023, zadanie 3 · zadanie otwarte (dowód, 2 pkt)
Uzupełnij dowód: dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba (2n + 1)² − 1 jest podzielna przez 8.
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1, a potem wyłącz wspólny czynnik.
(2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n = 4n(n + ). Liczby n oraz n + 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest liczbą parzystą, a ich iloczyn n(n + 1) też jest liczbą parzystą, czyli n(n + 1) = 2k dla pewnej liczby naturalnej k. Zatem 4n(n + 1) = 4 · 2k = k, czyli liczba (2n + 1)² − 1 dzieli się przez .