Zadanie 4
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3n³ + 18n² + 15n jest podzielna przez 6. Uzupełnij dowód, wybierając w każdej luce właściwe wyrażenie.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura poprawkowa sierpień 2023, zadanie 4
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 3n³ + 18n² + 15n jest podzielna przez 6. Uzupełnij dowód, wybierając w każdej luce właściwe wyrażenie.
Wyłącz 3n przed nawias, rozłóż trójmian kwadratowy na czynniki i skorzystaj z tego, że wśród n oraz n + 1 jedna liczba jest parzysta.
Wyłączamy 3n przed nawias: 3n³ + 18n² + 15n = 3n·(n² + 6n + 5) = . Liczby n oraz n + 1 są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi, więc , a zatem iloczyn n·(n + 1) jest liczbą parzystą, czyli iloczyn 3n·(n + 1)·(n + 5) jest podzielny przez 3 oraz przez 2, czyli . To należało wykazać.