Zadanie 5
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 liczba 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ + 7ⁿ⁺² jest podzielna przez 19.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura czerwiec 2026, zadanie 5
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0 liczba 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ + 7ⁿ⁺² jest podzielna przez 19.
Uzupełnij dowód, wybierając w lukach poprawne wyrażenia.
Korzystamy z własności działań na potęgach: 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ + 7ⁿ⁺² = 7ⁿ + 7ⁿ · 7 + 7ⁿ · 7² = 7ⁿ · (1 + 7 + 7²) = 7ⁿ · . Liczbę tę zapisujemy jako iloczyn 19 i innej liczby całkowitej: 57 = 19 · . Zatem 7ⁿ + 7ⁿ⁺¹ + 7ⁿ⁺² = 19 · (3 · 7ⁿ), a liczba 3 · 7ⁿ jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0, więc wyjściowa liczba jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0.