Zadanie 20
W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego…
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura czerwiec 2026, zadanie 20
W trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki DB oraz DE mają równe długości. Wykaż, że |∡CAB| = 2 · |∡ABE|.
Niech α = |∡CAB| oraz β = |∡ABE|. Uzupełnij dowód, wybierając w lukach poprawne wyrażenia.
Ponieważ odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, kąt ADC jest prosty, więc trójkąt ADC jest prostokątny z przeciwprostokątną AC. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AC (bo BE jest środkową trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka B), więc ze środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej wynika |DE| = . Stąd trójkąt ADE jest równoramienny, więc |∡DAE| = |∡ADE| = α. Z równości |DB| = |DE| wynika też, że trójkąt DBE jest równoramienny, więc |∡DBE| = |∡DEB| = β. Kąt ADE jest kątem zewnętrznym trójkąta DBE przy wierzchołku D (bo A, D, B leżą na jednej prostej), więc z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta: |∡ADE| = .