Zadanie 21
Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N. Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola…
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura maj 2026, zadanie 21
Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N. Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM jest równy a/b.
Odcinek MN dzieli kąt LMK na dwie równe części - wykorzystaj wzór na pole trójkąta z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.
Odcinek MN jest dwusieczną kąta LMK, więc miary kątów KMN oraz NML są sobie równe; oznaczmy tę miarę przez α. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta wyrażonego przez dwa boki i sinus kąta między nimi, zapisujemy pole trójkąta KNM jako P(KNM) = , a pole trójkąta NLM jako P(NLM) = . Dzieląc te pola stronami, czynniki |MN| oraz sinα się skracają, więc P(KNM)/P(NLM) = . To należało wykazać.