Zadanie 10: równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viète'a

Trzy etapy: wyróżnik dodatni, warunek na sumę odwrotności kwadratów, część wspólna (5 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 10

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx² − (m+1)x − 2m+3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁ oraz x₂, spełniające warunki: x₁≠0, x₂≠0 oraz 1/x₁² + 1/x₂² < 1. Zapisz obliczenia.

Trzy etapy jak w oficjalnych zasadach oceniania: Δ>0, nierówność z Viète'a, część wspólna.

  1. 1Wyróżnik trójmianu (jako funkcja m) upraszcza się do 9m²−10m+1. Podaj jego mniejszy pierwiastek
  2. 2Podaj większy pierwiastek
  3. 3Warunek Δ>0 (parabola nad m o ramionach w górę) daje m<1/9 lub m>1. Osobno: warunek 1/x₁²+1/x₂²<1, po zastosowaniu wzorów Viète'a, sprowadza się do nierówności m²+8m−8<0. Podaj jej wyróżnik
  4. 4Pierwiastki tej nierówności to −4±2√6. Wartość 2√6, zaokrąglona do dwóch miejsc po przecinku
  5. 5Lewy koniec przedziału (−4−2√6), zaokrąglony do dwóch miejsc po przecinku
  6. 6Prawy koniec przedziału (−4+2√6), zaokrąglony do dwóch miejsc po przecinku
  7. 7Przecinając przedział (−4−2√6, −4+2√6) z warunkiem Δ>0 (czyli obcinając górną granicę do 1/9, bo 0,9<1) i wykluczając m=0 (bo wtedy równanie nie jest kwadratowe): prawy koniec ostatecznego zbioru to
Lekcje
Następna lekcja