Zadanie 12: czworokąt wpisany w okrąg z dwoma kątami prostymi

Dwa kąty proste dają dwie średnice ukryte w przekątnej; podobieństwo trójkątów domyka układ (5 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 12

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste. Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE| = 3·|DE| oraz |BD| = 2·|AE|. Oblicz długości boków czworokąta ABCD.

Dwa kąty proste sprawiają, że BD jest średnicą widoczną z A i z C naraz.

  1. 1Kąty BAD i BCD są proste, więc BD jest średnicą okręgu opisanego (promień 4). Podaj |BD|
  2. 2Z |BE|=3|DE| oraz |BE|+|DE|=8: |DE|
  3. 3|BE|
  4. 4Z |BD|=2|AE|: |AE|
  5. 5Z twierdzenia o przecinających się cięciwach: |AE|·|CE|=|BE|·|DE|. Podaj |CE|
  6. 6Trójkąty AED i BEC są podobne w skali |AE|:|BE|=4:6=2:3. Z AB²+AD²=64 oraz BC²+CD²=64, podstawiając BC=(3/2)AD i CD=(1/2)AB do drugiego równania i łącząc z pierwszym, wychodzi 8·AD²=192. Podaj AD²
  7. 7AD = 2√n. Podaj n (liczbę pod pierwiastkiem)
  8. 8AB² = 64 − AD² = 64 − 24
  9. 9AB = 2√n. Podaj n
  10. 10BC = (3/2)·AD = 3√n. Podaj n
  11. 11CD = AB/2 = √n. Podaj n
Lekcje
Następna lekcja