Zadanie 5: dowód nierówności a² + 16/a ≥ 12
Sprowadzenie do wspólnego mianownika i rozkład wielomianu trzeciego stopnia (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 5
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność a² + 16/a ≥ 12. Uzupełnij luki w dowodzie.
Klucz to zauważenie, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu a³−12a+16, więc wyłącza się z niego czynnik (a−2).
Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika a: a² + 16/a − 12 = (a³ − 12a + 16)/a. Nierówność a² + 16/a ≥ 12 jest więc równoważna nierówności ≥ 0. Ponieważ a > 0, mianownik jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że licznik ≥ 0. Liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu (sprawdzenie: 2³ − 12·2 + 16 = 0). Dzieląc a³ − 12a + 16 przez dwumian (a − 2), otrzymujemy iloraz . Trójmian ten ma pierwiastki 2 oraz −4, więc rozkłada się jako (a − 2)(a + 4). Zatem a³ − 12a + 16 = , co jest liczbą nieujemną dla każdej liczby dodatniej a: kwadrat (a − 2)² jest zawsze nieujemny, a czynnik (a + 4) jest dodatni, bo a > 0. To kończy dowód nierówności.