Zadanie 6: dowód geometryczny, trójkąt równoramienny ze stycznych
Odcinki styczne z trzech punktów zewnętrznych do okręgu (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 6
Dany jest okrąg O. Przez punkt A poprowadzono dwie proste styczne do okręgu w punktach P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C. Wykaż, że jeżeli |AQ| = 5·|BP| oraz |CD| = 2·|BD|, to trójkąt ABC jest równoramienny. Uzupełnij luki w dowodzie.
Klucz to dwukrotne użycie twierdzenia o odcinkach stycznych z jednego punktu.
Niech |BP| = x. Z twierdzenia o odcinkach stycznych z jednego punktu (B) do okręgu wynika, że |BD| = . Z założenia |CD| = 2·|BD|, więc |CD| = 2x. Ponownie z twierdzenia o odcinkach stycznych, tym razem z punktu C, wynika, że |CQ| = . Z założenia |AQ| = 5·|BP|, więc |AQ| = 5x. Z twierdzenia o odcinkach stycznych z punktu A wynika też, że |AP| = |AQ| = 5x. Stąd |AC| = |AQ| − |CQ| = 5x − 2x = , oraz |BC| = |BD| + |DC| = x + 2x = . Ponieważ |AC| = |BC| = 3x, trójkąt ABC jest równoramienny, co należało wykazać.