Zadanie 9: trójkąt wpisany w okrąg, wysokość dzieli średnicę

Prosta AB przechodzi przez środek okręgu, więc jest średnicą (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 9

W okrąg o równaniu (x−1)² + (y−2)² = 25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x − 3y + 2 = 0. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD| = 4·|DB|. Oblicz pole trójkąta ABC.

Sprawdź najpierw, czy prosta AB przechodzi przez środek okręgu.

O4x − 3y + 2 = 0-5-4-3-2-11234567-4-3-2-112345678

Rysunek poglądowy: siatka pomaga odczytać współrzędne, ale ostateczny wynik liczy się z podanych wzorów, nie z odległości na ekranie.

Rysunek własny, przygotowany do tego zadania. Na arkuszu materiał wygląda inaczej, bo egzamin drukuje własne mapy i fotografie.
  1. 1Odległość środka okręgu S=(1,2) od prostej 4x−3y+2=0, czyli |4·1−3·2+2|/√(16+9)
  2. 2Skoro odległość wynosi 0, AB jest średnicą okręgu. Podaj |AB|
  3. 3Z |AD|=4|DB| oraz |AD|+|DB|=10: |DB|
  4. 4|AD|
  5. 5Kąt ACB jest wpisany w okrąg i oparty na średnicy AB, więc jest prosty. Wysokość CD spełnia CD²=AD·DB. Podaj CD
  6. 6Pole trójkąta ABC = ½·|AB|·|CD|
Lekcje
Następna lekcja