Zadanie 10: suma obwodów ciągu kwadratów

Bok kolejnego kwadratu, iloraz szeregu i suma szeregu geometrycznego (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 10

Kwadrat K₁ ma bok długości a. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 kwadrat Kₙ ma każdy wierzchołek na innym boku kwadratu Kₙ₋₁ i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3. Obwody wszystkich tych kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Iloraz jest niewymierny, więc pytamy o 16q², a wynik zapisujemy w postaci z usuniętą niewymiernością.

  1. 1Wierzchołek dzieli bok długości a w stosunku 1 : 3, więc powstają odcinki a/4 oraz k·a/4. Podaj k
  2. 2Z twierdzenia Pitagorasa a₂² = (a/4)² + (3a/4)² = (m/16)·a². Podaj m
  3. 3Obwód pierwszego kwadratu L₁ = p·a. Podaj p
  4. 4Iloraz ciągu obwodów q jest równy stosunkowi a₂ do a. Podaj 16q²
  5. 5Sumę L = L₁/(1 − q) po usunięciu niewymierności z mianownika zapisujemy jako L = t·(4 + √10)·a/3. Podaj t
Lekcje
Następna lekcja