Zadanie 12.1: dowód przekształcenia z logarytmami
Własność a^(log_a b) = b i wzór na zamianę podstawy logarytmu (2 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 12.1
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wyrażenie 81^(log₃x) + (2 · log₂√27 · log₃2 / 3) · x² − 6x można równoważnie przekształcić do postaci x⁴ + x² − 6x. Uzupełnij luki w dowodzie.
Pierwszy składnik upraszcza własność a^(log_a b) = b, drugi wzór na zamianę podstawy.
Zauważmy, że 81 = 3⁴, więc 81^(log₃x) = (3^(log₃x))⁴, a z własności a^(log_a b) = b daje to . W drugim składniku zapisujemy √27 = 3^(3/2), więc log₂√27 = (3/2)·log₂3, a całe wyrażenie 2 · log₂√27 · log₃2 / 3 upraszcza się do . Ze wzoru na zamianę podstawy log₃2 = log₂2 / log₂3 = 1 / log₂3, więc ten iloczyn jest równy . Drugi składnik to zatem 1 · x² = x², a całe wyrażenie przyjmuje postać , co należało wykazać.