Zadanie 4: dowód, że x = 2 oraz y = 2
Rozkład na czynniki i nierówność, która wymusza równość liczb (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 4
Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = 4 i nierówność x³ − x²y ≤ xy² − y³. Wykaż, że x = 2 oraz y = 2. Uzupełnij luki w dowodzie.
Klucz to zauważenie, że po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę wychodzi iloczyn kwadratu i sumy.
Przenosimy wszystko na lewą stronę: x³ − x²y − xy² + y³ ≤ 0. Grupujemy wyrazy: x²(x − y) − y²(x − y) ≤ 0, czyli (x − y)·() ≤ 0. Rozkładamy różnicę kwadratów i otrzymujemy (x − y)² · () ≤ 0. Z założenia x + y = 4, więc nierówność przyjmuje postać 4(x − y)² ≤ 0. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem jednocześnie 4(x − y)² ≥ 0, co daje . Stąd x = y, a po podstawieniu do x + y = 4 mamy 2x = 4, czyli x = oraz y = 2, co należało wykazać.