Zadanie 10: graniastosłup trójkątny, kąt między przekątnymi ścian bocznych

Sinus danego kąta wyznacza wysokość bryły przez cosinus i twierdzenie cosinusów (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 10

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy √11/6. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Obie przekątne mają tę samą długość L=√(a²+H²); trzeci bok trójkąta, jaki tworzą, to krawędź podstawy a.

  1. 1cos²α = 1 − 11/36. Podaj wynik jako ułamek nieskracalny (licznik/mianownik)
  2. 2cos α (kąt ostry, więc dodatni), jako ułamek
  3. 3Z twierdzenia cosinusów w trójkącie równoramiennym (dwie przekątne L=√(a²+H²), podstawa a): a²=2L²−2L²cosα=2L²(1−5/6)=(1/3)L². Stąd L²=3a²=a²+H². Podaj H² jako wielokrotność a² (podaj współczynnik)
  4. 4Stąd wysokość H = a√n. Podaj n
  5. 5Pole boczne (trzy prostokąty a×H) = 3aH = 3√n·a². Podaj n
Lekcje
Następna lekcja