Zadanie 12: równanie kwadratowe z parametrem, x₁²+x₂²=x₁x₂+7

Trzy etapy: wyróżnik dodatni, równanie sześcienne z Viète'a, część wspólna (6 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (3−m)x² + (m+1)x − (m+1)² = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek x₁²+x₂² = x₁·x₂ + 7. Zapisz obliczenia.

Warunek na sumę kwadratów, po wzorach Viète'a, prowadzi do równania sześciennego z jednym łatwym pierwiastkiem.

  1. 1Wyróżnik (jako funkcja m) upraszcza się do (m+1)²(13−4m). Warunek Δ>0 wymaga m≠−1 oraz m<g — podaj g
  2. 2Warunek x₁²+x₂²=x₁x₂+7, po podstawieniu wzorów Viète'a i sprowadzeniu do wspólnego mianownika (3−m)², prowadzi do równania sześciennego 3m³+3m²−59m−53=0 razy (−1), czyli −3m³−3m²+59m−53=0. Liczba 1 jest jego pierwiastkiem (sprawdzenie: podstaw m=1). Dzieląc wielomian przez (m−1), otrzymujemy trójmian −3m²−6m+53=0, czyli 3m²+6m−53=0. Podaj jego wyróżnik
  3. 3Pierwiastek z wyróżnika, w postaci k√42 — podaj k
  4. 4Trzy kandydaci na m: 1 oraz (−3±2√42)/3. Sprawdź, który z dwóch niewymiernych kandydatów spełnia warunek m<13/4=3,25 z pierwszego etapu: (−3+2√42)/3 ≈ 3,32 (odrzucamy) lub (−3−2√42)/3 ≈ −5,32 (spełnia). Ile spośród trzech kandydatów ostatecznie spełnia WSZYSTKIE warunki?
Lekcje
Następna lekcja