Zadanie 13.1: dowód wzoru na objętość ostrosłupa V(R)
Promień okręgu opisanego na podstawie wyznacza krawędź trójkąta równobocznego (2 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 13.1
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest równa 6. Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem V(R) = (√3/4)·(6R²−R³). Uzupełnij luki w dowodzie.
Krawędź podstawy a wiąże się z promieniem opisanym R zależnością R=a√3/3.
Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, więc promień R okręgu opisanego na podstawie wiąże się z krawędzią podstawy a zależnością R=a√3/3, skąd a = . Pole podstawy: Pp=(√3/4)a²=(√3/4)·(R√3)² = ·R². Z warunku H+R=6 mamy H = . Objętość ostrosłupa V=(1/3)·Pp·H = (1/3)·(3√3/4)R²·(6−R) = ·(6R²−R³), co należało wykazać.