Zadanie 5: dowód nierówności 1/(2a+b) + 1/(a+2b) ≥ 4/3
Podstawienie a+b=1 sprowadza nierówność do znanej postaci AM-HM (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 5
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby dodatniej b takich, że a+b=1, prawdziwa jest nierówność 1/(2a+b) + 1/(a+2b) ≥ 4/3. Uzupełnij luki w dowodzie.
Zauważ, że 2a+b=a+1 i a+2b=b+1, gdy a+b=1.
Ponieważ a+b=1, to 2a+b=a+(a+b)=a+1, a analogicznie a+2b=. Nierówność do wykazania przyjmuje więc postać 1/(a+1) + 1/(b+1) ≥ 4/3, gdzie (a+1)+(b+1) = . Mnożąc obie strony przez dodatnią liczbę 3(a+1)(b+1) i porządkując, nierówność sprowadza się do 2 − (a+b) ≥ 4ab, czyli (po podstawieniu a+b=1) do ≥ 4ab. Jest to równoważne (a+b)² − 4ab ≥ 0, czyli ≥ 0, co jest prawdziwe jako kwadrat liczby rzeczywistej. To kończy dowód.