Zadanie 6: pole trapezu opisanego na okręgu
Wysokość trapezu jako średnia geometryczna podstaw, potem AM-GM (3 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 6
Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe a oraz b, przy czym a>b. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od a·b. Uzupełnij luki w dowodzie.
Z trapezu opisanego na okręgu wynika a+b=2c (c to ramię); z twierdzenia Pitagorasa wychodzi h=√(ab).
Trapez jest opisany na okręgu, więc suma podstaw równa się sumie ramion: a+b=2c, gdzie c to długość ramienia, czyli c = . Z twierdzenia Pitagorasa (rzut ramienia na podstawę to (a−b)/2): ((a−b)/2)² + h² = c². Po podstawieniu c=(a+b)/2 i uproszczeniu, wysokość trapezu wynosi h = . Pole trapezu P = (a+b)/2 · h = (a+b)/2 · √(ab). Ponieważ a>b, z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb a i b mamy (a+b)/2 √(ab). Mnożąc obie strony przez dodatnią liczbę √(ab), otrzymujemy P = (a+b)/2·√(ab) > √(ab)·√(ab) = , co należało wykazać.