Zadanie 8: trójkąt wpisany w okrąg, twierdzenie sinusów i cosinusów

Kąt naprzeciw najdłuższego boku jest rozwarty, co odrzuca jedno z dwóch rozwiązań (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 8

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC. Długość boku AB jest równa 6. Bok BC ma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku AC trójkąta ABC.

Twierdzenie sinusów daje dwa kandydaty na kąt BAC — tylko jeden jest zgodny z tym, że BC jest najdłuższym bokiem.

  1. 1Z twierdzenia sinusów: BC/sin(BAC)=2R=8. Stąd sin(BAC)=√3/2, co daje kąt 60° lub 120°. Który z nich jest zgodny z tym, że BC jest najdłuższym bokiem (BAC musi być największym kątem)? Podaj tę miarę kąta w stopniach
  2. 2Z twierdzenia cosinusów: |BC|²=|AC|²+|AB|²−2|AC||AB|cos(BAC). Podstawiając dane, otrzymujemy równanie kwadratowe |AC|²+6|AC|−12=0. Podaj jego wyróżnik Δ
  3. 3Pierwiastek √Δ, uproszczony do postaci k√21 — podaj k
  4. 4Dodatnie rozwiązanie tego równania (drugie jest ujemne i odrzucamy je jako długość boku). Zapisz jako √21 minus liczba całkowita — podaj tę liczbę
Lekcje
Następna lekcja