Zadanie 11: okrąg, styczne i pole deltoidu

Geometria analityczna: z pola czworokąta ABSC wyznacz środek okręgu.

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 11

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) środek S okręgu o promieniu √5 leży na prostej o równaniu y = x + 1. Przez punkt A = (1, 2), którego odległość od punktu S jest większa od √5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach, odpowiednio, B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu S (rozważ wszystkie przypadki).

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych, więc trójkąty ABS i ACS są prostokątne i przystające.

y = x + 1-4-3-2-112345678-4-3-2-112345678A

Rysunek poglądowy: siatka pomaga odczytać współrzędne, ale ostateczny wynik liczy się z podanych wzorów, nie z odległości na ekranie.

Rysunek własny, przygotowany do tego zadania. Na arkuszu materiał wygląda inaczej, bo egzamin drukuje własne mapy i fotografie.
  1. 1Z pola 15 = 2 · ½ · |AB| · √5 wyznacz |AB|², czyli kwadrat długości odcinka stycznej
  2. 2|AS|² = |AB|² + |BS|² (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABS)
  3. 3Dla S = (x, x + 1) warunek |AS|² = 50 daje 2·(x − 1)² = 50. Podaj (x − 1)²
  4. 4Większa z możliwych pierwszych współrzędnych punktu S
  5. 5Mniejsza z możliwych pierwszych współrzędnych punktu S
  6. 6Druga współrzędna punktu S dla pierwszej współrzędnej równej 6
  7. 7Druga współrzędna punktu S dla pierwszej współrzędnej równej −4
Lekcje
Następna lekcja