Zadanie 12: równanie kwadratowe z parametrem

Wyróżnik, wzory Viète'a i nierówność wielomianowa trzeciego stopnia.

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 12

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² − (3m + 1)·x + 2m² + m + 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x₁, x₂ spełniające warunek x₁³ + x₂³ + 3·x₁·x₂·(x₁ + x₂ − 3) ≤ 3m − 7.

Rozwiązanie ma trzy etapy: warunek Δ > 0, przekształcenie nierówności wzorami Viète'a i część wspólna obu zbiorów.

  1. 1Δ = (3m + 1)² − 4·(2m² + m + 1) po uproszczeniu ma postać m² + 2m + c. Podaj c
  2. 2Większe miejsce zerowe trójmianu m² + 2m − 3
  3. 3Mniejsze miejsce zerowe tego trójmianu
  4. 4Lewa strona warunku równa się (x₁ + x₂)³ − k·x₁·x₂. Podaj k
  5. 5Po wstawieniu wzorów Viète'a nierówność przyjmuje postać 27m³ + 9m² − 3m − d ≤ 0. Podaj d
  6. 6Rozwiązaniem tej nierówności jest m ≤ ⅓. Podaj największą liczbę całkowitą, która ją spełnia
  7. 7Częścią wspólną obu warunków jest przedział (−∞, b). Podaj b
Lekcje
Następna lekcja