Zadanie 13.1: wykaż wzór na pole powierzchni
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jako warunek wiążący H z a.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 13.1
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określone wzorem P(a) = a²√3/2 + 13824√3/a. Uzupełnij dowód.
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a, a ścianami bocznymi trzy przystające prostokąty o wymiarach a × H.
Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku a, więc pole podstawy jest równe . Oznaczmy przez H wysokość graniastosłupa. Z warunku V = 3456 mamy 3456 = (a²√3/4)·H, skąd H = , czyli po usunięciu niewymierności z mianownika H = 4608√3/a². Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i trzech prostokątów bocznych o wymiarach a × H: P = . Po podstawieniu wyznaczonej wysokości składnik boczny 3a·H upraszcza się do , więc ostatecznie P(a) = a²√3/2 + 13824√3/a dla a ∈ (0, 8√3]. To należało wykazać.