Zadanie 5: wykaż tożsamość logarytmiczną
Zamiana podstawy logarytmu i logarytm iloczynu w dowodzie tożsamości.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 5
Wykaż, że jeżeli log₅4 = a oraz log₄3 = b, to log₁₂80 = (2a + 1)/(a·(1 + b)). Uzupełnij dowód, wybierając w każdej luce właściwe wyrażenie.
Wygodnie jest sprowadzić wszystko do podstawy 4, bo w tej podstawie dane jest b, a z a odczytamy log₄5.
Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i zapisujemy log₁₂80 w podstawie 4: log₁₂80 = . Liczbę 80 rozkładamy na czynniki 16 · 5, więc ze wzoru na logarytm iloczynu log₄80 = log₄16 + log₄5 = . Podobnie 12 = 4 · 3, zatem log₄12 = . Zostaje wyrazić log₄5 przez a: ze wzoru na zamianę podstawy log₄5 = log₅5 / log₅4, a ponieważ log₅4 = a, to log₄5 = . Po podstawieniu log₁₂80 = (2 + 1/a)/(1 + b), a po pomnożeniu licznika i mianownika przez a (dodatnie, bo a = log₅4 > 0) otrzymujemy , co należało wykazać.