Zadanie 8: dowód geometryczny (kąt dwa razy większy)
Twierdzenie sinusów i cosinusów w trójkącie, w którym jeden kąt jest podwojeniem drugiego.
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 8
Dany jest trójkąt ABC, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek |AC|² = |BC|² + |AB|·|BC|. Uzupełnij dowód, wybierając w każdej luce właściwy zapis.
Przyjmij oznaczenia a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| oraz α = |∡CAB|; wtedy |∡ABC| = 2α, a teza to b² = a² + c·a.
Oznaczmy a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| oraz α = |∡CAB|; z założenia |∡ABC| = 2α. Z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC mamy b/sin(2α) = a/sin α, a po zastosowaniu wzoru na sinus podwojonego kąta i skróceniu przez sin α otrzymujemy cos α = . Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów do boku BC, który leży naprzeciw kąta α: . Po podstawieniu cos α = b/(2a) prawa strona przyjmuje postać b² + c² − c·b²/a, więc a² − c² = . Mnożymy obie strony przez a i rozkładamy na czynniki: a·(a − c)·(a + c) = b²·(a − c). Ponieważ trójkąt ABC , otrzymujemy a·(a + c) = b², czyli . To należało wykazać.