Zadanie 6: suma zbieżnego szeregu geometrycznego

Układ warunków na a₁ i a₃, odrzucenie ilorazu spoza przedziału zbieżności i dwa przypadki sumy (4 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 6

Ciąg (aₙ), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a₁ + a₃ = 20 oraz a₁² + a₃² = 328. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, rozważając wszystkie przypadki.

Skorzystaj z tożsamości 2a₁a₃ = (a₁ + a₃)² − (a₁² + a₃²), a potem pamiętaj, że szereg geometryczny jest zbieżny tylko dla |q| < 1.

  1. 1Iloczyn a₁·a₃ = [(a₁ + a₃)² − (a₁² + a₃²)]/2
  2. 2Liczby a₁ i a₃ są pierwiastkami równania t² − 20t + 36 = 0. Mniejszy pierwiastek
  3. 3Większy pierwiastek
  4. 4Szereg jest zbieżny, więc |q| < 1, co wymusza a₁ = 18 oraz a₃ = 2. Ile wynosi 1/q², skoro q² = a₃/a₁?
  5. 5Suma szeregu dla q = 1/3, czyli S = a₁/(1 − q)
  6. 6Suma szeregu dla q = −1/3, w postaci dziesiętnej
Lekcje
Następna lekcja