Zadanie 7: trapez podzielony linią środkową
Dowód geometryczny: ze stosunku pól obu części trapezu wynika, że |CD| : |AB| = 1 : 5 (4 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneUporządkuj kroki
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 7
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD, a punkt F środkiem ramienia BC. Stosunek pola trapezu EFCD do pola trapezu ABFE jest równy 1/2. Uporządkuj kroki dowodu równości |CD|/|AB| = 1/5. Ustaw je przeciągnięciem w poprawnej kolejności, od pierwszego do ostatniego.
Zacznij od oznaczeń i własności odcinka łączącego środki ramion, a skończ na przekształceniu wiążącym obie podstawy.
Przeciągnij zdania albo użyj strzałek, aby ustawić je w poprawnej kolejności.
- 1Z warunku zadania stosunek tych pól jest równy 1/2, więc po skróceniu wysokości (d + b)/(a + d) = 1/2, czyli 2d + 2b = a + d.
- 2Oznacz a = |AB|, b = |CD|, h jako wysokość trapezu ABCD oraz d = |EF|. Odcinek EF łączy środki ramion, więc d = (a + b)/2.
- 3Przekształć równanie a + b = 2a − 4b do postaci 5b = a, czyli |CD|/|AB| = b/a = 1/5.
- 4Zapisz pola obu części: P(EFCD) = ½·(d + b)·(h/2) oraz P(ABFE) = ½·(a + d)·(h/2), bo oba trapezy mają wysokość h/2.
- 5Uprość otrzymaną równość do d = a − 2b i podstaw d = (a + b)/2, otrzymując (a + b)/2 = a − 2b.