Zadanie 10: ostrosłup o krawędzi bocznej prostopadłej do podstawy
Kąt między ścianami bocznymi, twierdzenie cosinusów i podobieństwo trójkątów prowadzą do pola powierzchni bocznej (5 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 10
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD, a krawędź boczna SA jest wysokością ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość 3√34, a cosinus kąta β między ścianami bocznymi CDS i BCS jest równy −9/25. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Niech E będzie spodkiem wysokości ściany BCS poprowadzonej z wierzchołka B. Ściany BCS i CDS są przystające, więc |DE| = |BE|, a kątem β jest kąt BED.
- 1Przekątna podstawy ma długość 3√34·√2, więc |BD|² wynosi
- 2Z twierdzenia cosinusów w trójkącie BED: 612 = 2x² + 2x²·(9/25), gdzie x = |BE| = |DE|. Oblicz xPrawa strona to (68/25)·x².
- 3Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BEC, w którym |BC|² = 306, oblicz |CE|
- 4Trójkąt BCS jest prostokątny przy wierzchołku B, a trójkąty BCS i ECB są podobne, więc |SC| = |BC|²/|CE|. Oblicz |SC|
- 5Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACS oblicz |AS|² = |SC|² − |AC|²|AC|² to kwadrat długości przekątnej podstawy.
- 6Łączne pole ścian ABS i ADS (są to trójkąty prostokątne o przyprostokątnych |AB| i |AS|), czyli iloczyn |AB|·|AS|
- 7Łączne pole ścian BCS i DCS, czyli iloczyn x·|SC|
- 8Pole powierzchni bocznej ostrosłupa