Zadanie 11: parametr w trójmianie i wzory Viete'a

Cztery warunki naraz: dodatni wyróżnik, ten sam znak pierwiastków, ograniczenie na (x₁ − x₂)² i część wspólna (6 pkt).

Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.

Zadanie 1 / 1TrudneKrok po kroku
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 11

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (2 − m)x² − 2(2m + 1)x + m + 8 dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m ≠ 2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x₁ oraz x₂ tego samego znaku, spełniające warunek (x₁ − x₂)² ≤ 180.

Rozbij zadanie na cztery etapy: Δ > 0, x₁·x₂ > 0, przekształcenie (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ oraz część wspólna wszystkich warunków.

  1. 1Warunek Δ > 0 sprowadza się do 20m² + 40m − 60 > 0, czyli (m − 1)(m + 3) > 0. Podaj mniejszy pierwiastek tego trójmianu
  2. 2Podaj większy pierwiastek
  3. 3Miejsca zerowe mają ten sam znak, gdy x₁·x₂ = (m + 8)/(2 − m) > 0, co daje przedział (c, 2). Podaj c
  4. 4Warunek (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ ≤ 180 sprowadza się do nierówności 8m² − 38m + 39 ≥ 0. Podaj wyróżnik tego trójmianu
  5. 5Mniejszy pierwiastek trójmianu 8m² − 38m + 39, w postaci dziesiętnej
  6. 6Większy pierwiastek tego trójmianu, w postaci dziesiętnej
  7. 7Częścią wspólną wszystkich warunków jest m ∈ (−8, −3) ∪ (1, 3/2]. Ile liczb całkowitych należy do tego zbioru?Wypisz liczby całkowite z każdego z dwóch przedziałów osobno.
Lekcje
Następna lekcja