Zadanie 12.1: wzór na objętość stożka
Dowód, że przy odległości środka podstawy od tworzącej równej 5 objętość wyraża się wzorem V(h) = (π/3)·25h³/(h² − 25) (2 pkt).
Rozwiązujesz bez konta, a odpowiedzi sprawdza ten sam silnik co na platformie. Postęp i powtórki zapisują się dopiero po darmowej rejestracji.
Zadanie 1 / 1ŚrednieUzupełnij dowód
1:1 z matury · Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 12.1
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość h jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Uzupełnij dowód, że objętość V takiego stożka wyraża się wzorem V(h) = (π/3)·25h³/(h² − 25).
Pracuj w przekroju osiowym: środek podstawy D, wierzchołek stożka C i koniec średnicy B tworzą trójkąt prostokątny, w którym odległość 5 jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną.
Oznaczmy przez r promień podstawy, przez h wysokość stożka, przez D środek podstawy, a przez BC tworzącą w przekroju osiowym. Trójkąt DBC jest prostokątny, a jego przyprostokątne mają długości . Odległość środka podstawy od tworzącej to wysokość DE tego trójkąta opuszczona na bok BC, a długość boku BC wynosi . Pole trójkąta DBC liczone na dwa sposoby daje ½·r·h = ½·|BC|·5. Po podniesieniu równania r·h = 5·|BC| do kwadratu otrzymujemy . Grupujemy wyrazy z r²: r²(h² − 25) = 25h², a stąd . Warunek h > 5 gwarantuje, że mianownik h² − 25 jest , więc dzielenie jest wykonalne. Podstawiamy r² do wzoru V = ⅓πr²h i otrzymujemy . To należało wykazać.